SUMA DE VECTORES, RESTA DE VECTORES Y MULTIPLICACIÓN DE VECTORES

Suma de Vectores 

Para sumar dos vectores libres  y  se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

          

              

Propiedades de la suma de vectores

1 Asociativa

 + ( +  ) = ( +  ) + 

2 Conmutativa

 +  =  + 

3 Elemento neutro

 +  = 

4 Elemento opuesto

 + (− ) = 

            

Resta de Vectores 

Para restar dos vectores libres  y  se suma  con el opuesto de .

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Ejemplo:

El producto de un número k por un vector  es otro vector:

1 De igual dirección que el vector .

2 Del mismo sentido que el vector  si k es positivo.

3 De sentido contrario del vector  si k es negativo.

4 De módulo 

                    

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Ejemplo:

Propiedades del producto de un número por un vector

1 Asociativa

k · (k' ·  ) = (k · k') · 

2 Distributiva respecto a la suma de vectores

k · (  +  ) = k ·  + k · 

3 Distributiva respecto a los escalares

(k + k') ·  = k ·  + k' · 

4 Elemento neutro

1 ·  = 

           

Multiplicación de Vectores 

Cuando dos vectores A y B son multiplicados el resultado puede ser un escalar o un vector dependiendo de como son multiplicados.  Pues hay dos tipos de multiplicación:

Producto Escalar o producto punto: 
A•B

Producto vectorial o producto cruz:
AxB

Tres vectores, A, B, C pueden resultar en
Triple producto escalar:
A•(BxC)

O triple producto vectorial:
Ax(BxC)

PRODUCTO PUNTO:
El producto punto de dos vectores A y B escrito como A•B es definido geométricamente como el producto de sus magnitudes y el coseno del angulo entre ellos, el resultado es un escalar.
A•B=AB cos t
en donde t es el angulo menor que existe entre AyB

Además, si A=(Ax,Ay,Az)    y     B=(Bx,By,Bz)

entonces:
A•B=AxBx+AyBy+AzBz

es decir el producto punto se obtiene multiplicando A y B componente a componente.
Si el producto punto es cero, los vectores A y B son ortogonales (el angulo entre ellos es de 90 grados)

LEYES DEL PRODUCTO PUNTO:
El producto punto obedece las siguientes leyes:

Propiedad conmutativa:

Propiedad asociativa:

Propiedades para los vectores unitarios(recordar que estos son perpendiculares entre sí)

Ejemplos:

Los vectores A(2,4,1)  y B(5,3,8) se se multiplican usando el producto punto nos dan:

A•B= 2x5+4x3+1x8=10+12+8=30

el Vector A multiplicado por la constante k=3:

kA=3(2,4,1)=(6,12,3)