Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Propiedades de la suma de vectores
1 Asociativa
+ ( + ) = ( + ) +
2 Conmutativa
+ = +
3 Elemento neutro
+ =
4 Elemento opuesto
+ (− ) =
Resta de Vectores
Para restar dos vectores libres y se sumacon el opuesto de.
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.
Ejemplo:
El producto de un número k por un vector es otro vector:
1 De igual dirección que el vector .
2 Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
3 De sentido contrario del vector si k es negativo.
4 De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
Ejemplo:
Propiedades del producto de un número por un vector
1 Asociativa
k · (k' · ) = (k · k') ·
2 Distributiva respecto a la suma de vectores
k · ( + ) = k · + k ·
3 Distributiva respecto a los escalares
(k + k') · = k · + k' ·
4 Elemento neutro
1 · =
Multiplicación de Vectores
Cuando dos vectores A y B son multiplicados el resultado puede ser un escalar o un vector dependiendo de como son multiplicados. Pues hay dos tipos de multiplicación:
Producto Escalar o producto punto: A•B
Producto vectorial o producto cruz: AxB
Tres vectores, A, B, C pueden resultar en Triple producto escalar: A•(BxC)
O triple producto vectorial: Ax(BxC)
PRODUCTO PUNTO: El producto punto de dos vectores A y B escrito como A•B es definido geométricamente como el producto de sus magnitudes y el coseno del angulo entre ellos, el resultado es un escalar. A•B=AB cos t en donde t es el angulo menor que existe entre AyB
Además, si A=(Ax,Ay,Az) y B=(Bx,By,Bz)
entonces: A•B=AxBx+AyBy+AzBz
es decir el producto punto se obtiene multiplicando A y B componente a componente. Si el producto punto es cero, los vectores A y B son ortogonales (el angulo entre ellos es de 90 grados)
LEYES DEL PRODUCTO PUNTO: El producto punto obedece las siguientes leyes:
Propiedad conmutativa:
Propiedad asociativa:
Propiedades para los vectores unitarios(recordar que estos son perpendiculares entre sí)
Ejemplos:
Los vectores A(2,4,1) y B(5,3,8) se se multiplican usando el producto punto nos dan:
) = (
= 
